Định nghĩa đường thẳng đứng được đề cập trong kiến thức Toán lớp 7. Nói chung định nghĩa đường trung trực là gì và các dạng toán thường gặp về đường thẳng đứng cho các bạn tham khảo và ôn tập. .
Định nghĩa của đường trung trực là gì?
Trong hình học phẳng, đường phân giác đứng của đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với trung điểm của đoạn thẳng.
Tính chất của đường phân giác dọc của đoạn thẳng
Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng được gọi là đường phân giác thẳng đứng của đoạn thẳng.
Đường thẳng d đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB là phân giác đứng.
Định lý 1
Một điểm trên đường phân giác đứng của đoạn thẳng cách đều hai điểm cuối của đoạn thẳng
Giả sử:
d là đường phân giác thẳng đứng của đoạn thẳng AB.
M thuộc d
Tóm lại là:
MA = MB
Điểm M và I nằm trên đường phân giác thẳng đứng d của AB.
Định lý 2
Các điểm cách đều hai điểm cuối của đoạn thẳng nằm trên đường phân giác thẳng đứng của đoạn thẳng.
Chú ý: Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng là đường phân giác thẳng đứng của đoạn thẳng.
Đường phân giác dọc của một tam giác
Trong một tam giác, đường phân giác đứng của mỗi cạnh là đường phân giác đứng của tam giác đó.
Đường thẳng a vuông góc với trung trực của cạnh BC của tam giác ABC.
Tính chất đường phân giác vuông góc của tam giác
– Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác. Điểm O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác ABC.
Ta có: OA = OB = OC
Tính chất ba đường phân giác vuông góc của tam giác.
– Giao điểm của ba đường phân giác vuông góc của một tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Khi đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tính chất ba đường phân giác vuông góc của tam giác.
Trong một tam giác cân, đường trung trực tương ứng với đáy cũng là một đường phân giác, cả đường trung trực và đường cao đều bắt nguồn từ các đỉnh của cạnh đối diện.
Tính chất của đường phân giác trong tam giác cân.
Trong một tam giác vuông, giao điểm của ba đường phân giác vuông góc là trung điểm của cạnh huyền. Tam giác ABC vuông góc với B. Khi đó, giao điểm của ba đường trung trực là trung điểm E của cạnh huyền AC.
Tính chất của đường phân giác trong tam giác vuông.
Các dạng toán phổ biến
Dạng 1: Chứng minh đường phân giác đứng của một đoạn thẳng
Để chứng minh đường thẳng d là tia phân giác thẳng đứng của đoạn thẳng AB cho trước, ta cần chứng minh rằng d chứa hai điểm cách đều A và B, hoặc ta có thể sử dụng định nghĩa về đường trung trực.
Dạng 2: Chứng minh rằng hai đoạn thẳng đồng dư
Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng định lý sau: “Một điểm nằm trên đường phân giác thẳng đứng của đoạn thẳng cách đều hai điểm cuối của đoạn thẳng”.
Loại 3: Vấn đề tối thiểu
– Sử dụng tính chất của đường phân giác để đổi độ dài một đoạn thẳng thành độ dài một đoạn thẳng khác bằng nó.
Sử dụng bất đẳng thức lượng giác để tìm giá trị nhỏ nhất.
Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
– Sử dụng tính chất giao điểm của các đường phân giác đứng của tam giác.
– Định lý: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác.
Dạng 5: Bài toán về đường phân giác của tam giác cân
Chú ý rằng trong tam giác cân, đường phân giác đứng của một đáy cũng là đường trung trực của đáy đó.
Dạng 6: Bài toán phân giác đứng của tam giác vuông
Chú ý rằng trong một tam giác vuông, giao điểm của các đường trung trực là trung điểm của cạnh huyền.
Một số câu hỏi thường gặp về đường phân giác dọc của đoạn thẳng
Số đường phân giác đứng trong một đoạn thẳng?
Vì đường phân giác đứng là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng. Và mỗi đoạn thẳng chỉ có một điểm là trung điểm nên mỗi đoạn thẳng chỉ có một đoạn thẳng đứng.
Cách viết phương trình đường phân giác đứng của một đoạn thẳng
Khi học định nghĩa đường phân giác của một đoạn thẳng, chúng ta cũng cần biết cách viết phương trình của đường phân giác như sau:
Bước 1. Ta tìm vectơ pháp tuyến của đường trung trực và điểm đi qua.
Bước 2. Ta dựa vào Định lý 1: “Một điểm nằm trên đường phân giác đứng của đoạn thẳng cách đều hai điểm cuối của đoạn thẳng, tức là nếu điểm M nằm trên đoạn thẳng AB thì MA = MB.
Ví dụ: Cho hai điểm A (1; 0) và B (1; 2). Viết phương trình đường phân giác thẳng đứng của đoạn thẳng AB.
Viết phương trình của đường trực tâm dựa vào vectơ pháp tuyến.
Viết phương trình đường phân giác theo định lí.
Một số bài tập về đường giữa
Bài tập 1. Cho ABC là tam giác cân tại A. Hai đường trung trực BM, CN cắt nhau tại I. Hai đường phân giác trong của góc B và C cắt nhau tại O. Hai đường phân giác của các cạnh AB và AC gặp nhau tại K.
a) Chứng minh: BM = CN.
b) Chứng minh rằng OB = OC.
c) Chứng minh rằng các điểm A, O, I, K thẳng hàng.
Bài tập 2 Trên đường thẳng d, trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, lấy điểm M và N thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau giới hạn bởi đường thẳng AB.
a) Chứng tỏ rằng góc MAN = góc MBN.
b) MN là tia phân giác AMB.
Bài tập 3. Cho góc xOy = 50, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm M sao cho Ox là tia phân giác đứng của đoạn thẳng AN và vẽ điểm M sao cho Oy là tia phân giác đứng của đoạn thẳng AM.
a) Chứng minh: OM = ON.
b) Tính giá trị đo được của góc MON.
Bài tập 4. Cho 2 điểm A và B nằm trên cùng một mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng d. Vẽ điểm C sao cho d là trung trực của các đường thẳng BC, AC và E thân. Lấy điểm M bất kỳ trên d.
a) So sánh MA + MB và AC
b) Tìm vị trí của M trên d sao cho MA + MB ngắn nhất
Bài 5. Cho ABC là tam giác có góc A tù. Các đường trung trực của AB và AC lần lượt gặp nhau tại D và E tại O và BC.
a) ABD và ACE là tam giác gì?
b) Đường tròn tâm O và bán kính OA đi qua những điểm nào trong sơ đồ?
Bài 6. Cho ABC là tam giác vuông A có đường cao AH. Vẽ đường phân giác của cạnh AC, cắt BC tại I và AC tại E.
a) Chứng minh rằng IA = IB = IC.
b) Gọi M là trung điểm của đoạn AI và chứng minh MH = ME.
c) BE cắt AI tại N, tính tỉ số đoạn thẳng MN đối với AI.
Với những thông tin trên, định lý về đường trung trực là gì đã được giải quyết. Hãy thử áp dụng định lý đường phân giác để giải 6 bài toán trên. Nếu bạn giải được 6 bài toán này thì bạn đã hiểu rõ về định lý đường phân giác đứng. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào, vui lòng để lại lời nhắn cho chúng tôi.
